亀のイラスト
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鶴亀算とは、解き方と方程式とは何かを解説






鶴亀算とは、
「鶴と亀、合わせて32匹、足の数は88本、鶴と亀はそれぞれ何ぴきか?」
という問題です。
有名な問題で、解き方を知っている人も多いと思います。
文字を使わずに解くときは、下記のようにするのが典型的です。

「32匹がすべてつるだとする。
すると、足の数は全部で32×2=64で64本になるはず。
しかし、今は足の数は88本で24本多い。
それは、何匹かは一匹につき足が4本ある亀だから。
鶴1匹が亀1匹になると足は2本増える。
足は24本増えなければならないから、亀に置き換わる鶴は12匹、、したがって亀は12匹で鶴は20匹」

この解き方で難しいのは、すべてを鶴だとしてみる、という発想です。


鶴亀算を文字を使って解けば、下記のようになります。

「亀がxだとする。
したがって亀は32-x匹。
すると足の数は、2x+4(32-x)=88」

この式を変形すると、

2x+4(32-x)=88
2x+128-4x=88
-2x=-40
x=20

となり、問題の意味をそのまま式に表せば解くことができます。
ただしこの問題は、鶴x匹、亀y匹として、

x+y=32
2x+4y=88

のように、連立方程式で表すほうが自然です。
このように、=で結ばれた式を等式といいます。


等式は基本的に2通りあり、1つは法則を表す式で、a+b=b+aはそのような式の例です。
ほかには(a+b)2=a2+2ab+b2などもそうです。

これらの式は、a,bがどんな値であってもつねに成り立ち、先の式はたし算の交換法則を、次の式は2乗の展開規則を表しています。

このように、等式の中に含まれる文字の値が何であっても成り立つ式を、恒等式といいます。
一方、鶴亀算の解き方で使った等式「2x+4(32-x)=88は、特定のxの値についてしか成り立ちません。
このような等式を方程式といい、中に出てくる特定の未知の量を表す文字xを未知数といいます。
方程という言葉は中国から渡ってきた言葉で、数学所「九章算術」に出てきます。

方は正方形、程は割り当てるという意味で、九章算術では現在の3元方程式にあたる内容を扱っているようです。
このように、方程式は古い歴史を持っています。

鶴亀算の応用問題

・亀(足4本)と鶴(足2本)が合わせて20匹いる。足の合計本数が64本のとき、鶴は何羽いるか。

「方程式と答え」
式)4×20 = 80(本)
これは、本来の数より

式)80 – 64 = 16(本)
多い。亀を一匹、鶴に変えると

式)4 – 2 = 2(本)
足が減る。16本減らせばよいのだから

式)16 / 2 = 8

答え)8



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